Principio de los intervalos encajados

Cuatro intervalos encajados.

En matemática, se denomina familia de intervalos encajonados (o encajados) a una familia $\{I_{1},I_{2},\dots \}$ de subconjuntos de $\mathbb {R}$ tales que:

1. Cada uno de los conjuntos I_k es un intervalo, es decir, un conjunto de la forma $[a_{k},b_{k}]=\{x\in \mathbb {R} |a_{k}\leq x\leq b_{k}\}$ (intervalo cerrado), $(a_{k},b_{k})=\{x\in \mathbb {R} |a_{k}<x<b_{k}\}$ (intervalo abierto), o semiabierto, en que la desigualdad es estricta solamente en uno de los extremos.
2. Se cumple que $\forall k\in \mathbb {N} ,I_{k+1}\subset I_{k}$, esto es, cada intervalo I_k está contenido en el anterior.
3. Se tiene que, si los extremos de cada intervalo I_k son a_k y b_k, entonces $\lim _{k\rightarrow \infty }(b_{k}-a_{k})=0$, esto es, los intervalos se hacen cada vez más pequeños y terminan siendo de longitud menor a cualquier cantidad positiva.​

Principio de los intervalos encajados

La pregunta que surge ante una familia de intervalos encajonados $\{I_{1},I_{2},\dots \}$ es saber si existen números reales que pertenezcan a todos los elementos de esta familia, es decir, saber si el conjunto:

$\bigcap _{k\in \mathbb {N} }I_{k}$

es vacío o no.

Podemos comprobar que en el caso de conjuntos abiertos no hay un resultado general. Por ejemplo, la familia de intervalos $I_{k}=(0,2^{-k}),k\in \mathbb {N}$ es una familia de intervalos todos ellos no vacíos pero con intersección vacía, ya que dado un $\varepsilon >0$, ninguno de los intervalos I_k con $k>-\log _{2}(\varepsilon )$ contendrá a $\varepsilon$, y 0 no pertenece a ninguno de los I_k. En cambio, la familia de intervalos encajonados $I_{k}=(-2^{-k},2^{-k}),k\in \mathbb {N}$ sí posee intersección no vacía, ya que $\forall k\in \mathbb {N} ,0\in I_{k}$.

En cambio, para las familias de intervalos cerrados encajonados existe un resultado general, conocido como teorema o principio de los intervalos encajados, que estipula lo siguiente:

Dada una familia de intervalos cerrados encajonados no vacíos $\{I_{1},I_{2},\dots \}$, ésta determina a un punto y solo uno, es decir, tiene por intersección a un conjunto de un solo elemento {x}.

La prueba de este teorema es una aplicación del teorema de las sucesiones monótonas. Si $I_{k}=[a_{k},b_{k}]\forall k\in \mathbb {N}$, tenemos que, al estar cada intervalo contenido en el anterior, se tiene que la sucesión $\{a_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ es monótona creciente y acotada superiormente por b₁; asimismo, $\{b_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ es monótona decreciente y acotada inferiormente por a₁; luego, ambas sucesiones convergen a sendos valores a y b, respectivamente. Luego, por definición de intervalos encajonados, el límite de la sucesión (a_k - b_k) es 0, pero por teoremas de sucesiones este límite es a - b, por lo que concluimos que a = b. Al ser todos los intervalos I_k cerrados, vemos que este número límite pertenece a todos los intervalos de la familia.

Nótese que podemos demostrar que este teorema es lógicamente equivalente al axioma del supremo, es decir, podemos asumir este teorema como axioma y tomarlo como base para demostrar el axioma del supremo como un teorema y, por consiguiente, que el cuerpo de los números reales es un conjunto completo.​

Este teorema tiene un análogo en los espacios n-dimensionales $\mathbb {R} ^{n}$, que señala que cualquier familia de bolas cerradas encajadas ${\bar {B}}({\vec {x_{0}}},r)=\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}|\|{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\|\leq r\}$ tiene por intersección un único punto.

Axioma de Cantor

Para calcular el valor de la raíz cuadrada de 2, por defecto se empieza con 1; luego otro número $a_{1}$ > 1, tal que $a_{1}^{2}<2$; en seguida un número $a_{2}>a_{1}$, con $a_{2}^{2}<2$; de nuevo $a_{3}>a_{2}$, con $a_{3}^{2}<2$.Y así sucesivamente una sucesión creciente pero tal que el cuadrado de ningún término no excede a 2.

De igual modo se construye una sucesión decreciente tal que el cuadrado de ninguno de los término esté por debajo de 2 i. e.$b_{i}^{2}>2$, siendo $b_{(i+i)}<b_{i}<2$.

Después se forma la sucesión de los intervalos cerrados encajados con término general $[a_{i},b_{i}]$. El único elemento común a todos lo intervalos cerrados es la raíz cuadrada de 2.​ Se usa en vez del axioma del supremo en la axiomatización de los reales​

Referencias

• Datos: Q1638245
• Multimedia: Nested intervals / Q1638245